Wie man im ersten Bild im Hintergrund sieht, ist dein "Wurzelverzeichnis des Webservers" aka "document root" oder hier bei netcup "Dokumentenstamm", falsch eingestellt für deine Domain oder Subdomain. Das kann der Contao-Manager nicht selbst korrigieren, er hat aber schon die Verzeichnisse passend angelegt. Den Dokumentenstamm für die Domain musst du noch selbst auf das vom Contao-Manager angelegte Unterverzeichnis public setzen.
Ich persönlich würde die Installation nicht unter httpdocs machen, weil darauf dann möglicherweise über die Systemdomain zugegriffen weden kann. Ich lege mir normalerweise auf der obersten Ebene ein Verzeichnis an, z.B. "websites", darunter dann für jedes Projekt ein separates Unterverzeichnis, darin dann das Unterverzeichnis "public". Auf dieses Unterverzeichnis public muss dann der Dokumentenstamm der verwendeten Domain eingestellt werden und da drin muss auch die Datei "contao-manager.phar.php" liegen.
Falls dir das egal ist, was nicht sein sollte, kannst du aber auch die vom Contao-Manager geänderte Verzeichnisstruktur benutzen und nur den Dokumentenstamm entsprechend ändern.
Danke für die Tipps. Ich werde mir das am Wochenende nochmals anschauen. Komme leider zur Zeit nicht dazu.