Das muss wahrscheinlich mit composer installiert werden, habe es mir aber noch nicht angesehen.. Composer selbst kannst du auch nur lokal installieren. Notfalls einfach nur die composer.phar von getcomposer.org runterladen, ins Installationsverzeichnis (oberhalb von public, darin müsste dann wohl auch eine composer.json liegen) legen und sicherheitshalber in composer.phar.php umbenennen. Dann kannst im Installationsverzeichnis mit
die Software installieren.
Und ja, der Dokumentenstamm muss das public-Verzeichnis sein. Gleichzeitig musst du bei den PHP-Einstellungen open_basedir auf die zweite Variante setzen (nicht default), sondern die mit WEBSPACEROOT. Sonst kann oberhalb von public nichts installiert werden.
Danke, die Tipps haben super funktioniert. Hat mir echt sehr weitergeholfen!