Das wird ja immer schlimmer 
Ich denke wir sollten noch einmal ein paar Dinge zurückbauen und die Grundfunktionen testen.
Deine Lambda Funktion inkl. des Endpoints solltest du erstmal über eine Tool wie z.B. Postman testen, ob sie auch wirklich tut was du möchtest.
Du einen direkten Aufruf kannst du das CORS Thema erstmal umgeben.
Ich habe mir mal Beispielhaft eine Lambda Funktion erstellt und teste diese mittels Postman.
Lambda Funktion
pasted-from-clipboard.png
Im API Gateway (http api) ist nur eine Route definiert.
pasted-from-clipboard.png
CORS ist ebenfalls konfiguriert
pasted-from-clipboard.png
Wichtig ich nutze keine Authorization, etc.
Bevor ich die Funktion nun so benutze wie sie aus dem Frontend aufgerufen wird, teste ich sie ohne CORS Headers.
Es wird dabei direkt eine POST Request erzeugt.
pasted-from-clipboard.png
Nun der nächste Test um die CORS/OPTIONS Funktionalität zu prüfen.
pasted-from-clipboard.png
Im CORS Test setze ich zusätzliche Header (vglb. Frontend), wie man sieht fügt AWS beim Response die entsprechenden CORS Header hinzu (die Lambda Funktion ergänzt hier nichts).
Ich kann dir daher nur empfehlen auf die Basic zurückzukehren und mit einer Route zu starten.
Den POST Request würde ich mit geeigneten Daten dann erstmal unabhängig zum Frontend testen (siehe mein POST Request), sollte hier alles klappen geht es weiter mit OPTIONS (hier sollte es ausreichen in deiner Funktion bei OPTIONS einfach einen Status 200 zurückzusenden.