Eine nicht ganz perfekte Lösung:
Du könntest eines der Backup und Transfer Plugins nutzen von Wordpress:
Z.B. WP Clone ist kostenlos, der Weg wäre dann WP Clone Backup erstellen die ZIP herunterladen (verifizieren das die File Größe Sinn macht) Webseite Löschen WP auf neuer Domain installieren und mit WP Clone das Backup wiederherstellen (Referenzen werden geändert) - dieser Weg ist aber mit einem gewissen Risiko verbunden
Zweite Möglichkeit Backup der Datenbank erstellen und der Webseite - WP auf neuer Domain installieren Daten rüberkopieren und Datenbank einspielen (einige Einträge müssen geändert werden)
Dritte Möglichkeit wohl die beste:
Es gibt einen Button Website-Url aktualisieren (wenn es nur darum geht) - scheinbar aber erst nachdem die Seite verschoben hat
"Wordpress-Installation zu einer anderen Domain bewegen"
Umgekehrt ist es evtl. einfacher (Die neue domain zu der Wordpress-Installation bewegen 
)
Die neue domain auf das Wordpressverzeichnis zeigen lassen und dann in der DB mittels WP-Plugin oder CL-Tool den domainnamen ersetzen)
Falls ich dich richtig verstanden habe und es wirklich nur um eine neue domain geht und nicht etwa um ein neues Hosting oder gar einen neuen Provider.
Die neue domain auf das Wordpressverzeichnis zeigen lassen
Wie mache ich das denn? 
Im CCP zunächst die domain dem Webhosting zuweisen (falls es keine Inklusivdomain ist) und dann (auch im CCP) über "Dokumentenstamm ändern" die domain auf das Verzeichnis der WP-Installation zeigen lassen.
(Ich nehme doch an, dass es hier um ein Webhosting geht?)
Was ist das Verzeichnis der WP-Installation denn?
Tja, in welchem Verzeichnis du dein Wordpress installiert hast, weiß ich natürlich nicht.
Schau doch einfach mal nach wohin der Dokumentenstamm der alten domain zeigt. Oder schau im Dateimanager nach, wo dein Wordpress liegt.
Zu den Grundlagen des Webhostings gibt es hier auch eine Wiki:
Teste aber unbedingt noch, ob auch alle Unterseiten, Bilder und Links nun auf die neue domain zeigen.
In der Regel ist es nämlich so, dass die domain auch in der DB drin steht. Da muss dann u.U. noch nachgearbeitet werden.
