Hallo Aeneas,
das hast du (leider) alles richtig erkannt. Prinzipiell gibt es grob Webhosting, managed Server und Server.
Ein managed Server könnte dir zwar bieten was du möchtest, aber diese bedienen sich nicht anders als ein Webhosting, und auch wenn der Support dort kleinere Anpassungen nur für dich vornimmt (ist ja auch dein eigener Server) so wird er nicht irgendwelche Programme für dich installieren (und warten). Eventuell gibt es managed Server Angebote die das bieten, diese sind dann aber wahrscheinlich sehr teuer.
Du hast also zwei Möglichkeiten:
a) Begib dich langsam und vorsichtig auf die sehr spannende Reise selber einen Server zu betreiben - die erste und wichtigste Erkenntnis, nämlich dass du hier vorsichtig sein solltest, hast du ja schon selber erkannt. Für Details zu dieser Reise Bud fragen 
b) Du schaust dich mal beim "Profi" Webhosting von U-ber-space um. Dort geht deutlich mehr als im normalen Webspace!
Lg,
Thomas