Du brauchst natürlich kein extra Webhosing dafür
Die Einstellungen sehen mir spontan auch richtig aus. Denkst du daran, dass DNS sehr träge ist und es potentiell sogar Stunden dauern kann bis du das richtige Ergebnis erhälst? Du kannst mal bei dir überall den Cache leeren und auch solche Seiten testen:
Bei Google kann man auch beantragen den Cache zu löschen:
https://developers.google.com/speed/public-dns/cache
Die Subdomain hast du doch übrigens richtig "angelegt". Einfach nur der kleine Eintrag. Bei einem Netcup Webhosing wäre das dann so wie bei deinem alten, aber ist eben nur für das Webhosing selbst relevant, als vHost sozusagen.
EDIT: Die 46.38.243.234 ist halt dein Standard Platzhalter. Du kannst alle DNS Einträge entfernen, die du nicht brauchst. Macht das ganze übersichtlicher
Den @ Eintrag an zweiter Stelle solltest du aber auch an deine IP anpassen, weil das für den Domainnamen an sich steht und halt noch auf die andere Netcup IP zeigt.
EDIT2: Das Sternchen (*) im ersten Feld steht übrigens für alle Subdomains, die keine extra Erwähnung in einem anderen Eintrag haben. Entweder du entfernst den Eintrag auch oder setzt es auf deine IP. Dann könnte prinzipiell jeder auch über beispielsweise "kartoffelbreideluxe.heusmich.de" auf deinen Server zugreifen.