Hi Domvnxk und Willkommen 
Zunächst einmal: sehr saubere und strukturierte Problemschilderung, gefällt mir.
Grundlegend sieht dein Konzept meiner Meinung nach auch völlig in Ordnung aus - handhabe ich in etwa genauso.
Beachte bitte, dass Linux zwischen Groß- und Kleinschreibung unterscheidet, ggf. hat sich da irgendwo ein Fehler in der Config eingeschlichen:
vs
Daher mal überprüfen, ob sämtliche Pfade optimalerweise klein geschrieben sind.
Auch hilft es, sich eine PHP-Datei anzulegen mit dem Inhalt <?php phpinfo(); ?>, um mit der Ausgabe alle Pfade auf Korrektheit überprüfen zu können.
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Auch habe ich versucht auf den /sites/domain1/images Ordner über das Web zuzugreifen. Wenn ich htttps//:domain1.de/images eingebe bekomme ich einen 403-Fehler, aber wenn ich dann das Bild suche gibt er mir einen 404 Not Found aus. Meine Frage diesbezüglich: Wie funktioniert hier die korrekte Verlinkung im HTML-Code auf den Ordner? Geht das überhaupt so?
Das ist schon die korrekte Herangehensweise. Greifst du über das Web auf Dateien zu, ist der Dokumentenstamm das Wurzelverzeichnis, alles darüber braucht nicht angegeben werden und ist sowieso für den Webserver im Standard nicht erreichbar. Ist also das DocRoot /sites/domain1/ und du greifst per Web aufhttps://domain1.de/images/ zu, wird auf Dateiebene der Ordner /sites/domain1/images/ aufgerufen. Ein 403 Forbidden wird hier oft geliefert, wenn keine passende index-Datei gefunden wird und Directory Listing deaktiviert ist (das ist default auch aus Sicherheitsgründen der Fall). Aber der Aufruf im Browser von https://domain1.de/images/existierendesbild.png müsste in dem Fall sauber funktionieren und das Bild ausliefern. Wenn dies nicht der Fall ist, sollte man die Pfade nochmal genau auf Tippfehler oder Groß-/Kleinschreibung kontrollieren.
Weitere Idee: wurden die Domains erst friosch zu Netcup umgezogen und waren vorher bereits woanders in Betrieb? Dann könnte ggf. doch irgendwo noch ein Cache im Weg sein. Hier bietet sich an den Router neuzustarten, am Client den DNS-Cache zu löschen (Windows: ipconfig /flushdns) und im browser private Tabs zum Testen zu verwenden. Alternativ könnte man im Client auch andere DNS-Server angeben, beispielsweise 8.8.8.8 von Google - nutze ich wegen der Datensammelei aber maximal für kurze Tests.
Du könntest auch die Domain mal nennen (hier im Beitrag oder per PM) und dann könnten andere mal gegenprüfen.
Ansonsten noch ein Detail, aber nicht für das Problem verantwortlich:
<link rel="shortcut icon" href="https://domain1.de/images/name.png">
Hier würde ich empfehlen das Protokoll gänzlich wegzulassen, dann verwendet der Client das ohnehin beim Aufruf genutzte Protokoll, meistens ja https.
Absolute Pfadangabe, unabhängig von der verlinkenden Datei:
<link rel="shortcut icon" href="/images/name.png">
bzw als relative Pfadangabe ausgehend von der aktuellen Datei:
<link rel="shortcut icon" href="images/name.png">
Lässt man nämlich mal versehentlich das s weg und verlinkt http://domain1.de/images/name.png, meckert der Browser sofort, dass nicht alle Elemente der Webseite auf sicherem Wege übertragen worden sind, obwohl die Webseite via https aufgerufen wurde. Aber dies nur als Randbemerkung.