Was hast du eigentlich bei deinem alten Anbieter einen vServer oder Webspace?
Ich würde mir der Webseite anfangen
- Datenbankdump erstellen
- Datenbankdump einspielen
- (Anlage der User nicht vergessen)
- Daten via FTP kopieren
- Den A-Record deiner Weseite auf deine IP bei Netcup legen
Mail:
- Mailboxen auf deinem Server anlegen
- Wenn es die Mailboxen gibt den MX-Record deiner Domain(s) umstellen.
- 24 Stunden warten bis die TTL abgelaufen ist. Ab da sollten alle Mails in dein neues Postfach kommen.
- Jetzt kannst du deine E-Mails kopieren. (Ich habe das ganz einfach Ordner für Ordner mit Thunderbird gemacht. Bei mir war es aber auch nur mein Postfach)
Domains:
- Habe ich noch nie umgezogen meine Domains habe ich auch bei einem externen Anbieter.
- Von der Theorie her musst du Sie nur wie AuthCode umziehen und die DNS einstellungen anpassen.
Plesk spezifische Dinge kann ich dir leider nicht sagen da ich keine Admintools einsetze.
Ich hoffe ich konnte dir ein bisschen Helfen.
Aber bevor du dich um den Umzug kümmerst solltest du deinen vServer absichern 
viele Grüße
dergeberl