Hallo!
Vielen Dank für deine Antwort. Per SSH war der richtige Hinweis.
Mir ist eingefallen, dass ganz einfach per wget gehen könnte. Ein SSH-Zugang reicht also aus und es ist gar nicht kompliziert! 
Ich habe es nun so gelöst, dass ich beim alten Hoster einen FTP-Zugang mit Berechtigung auf den gewünschen Bereich, den man transferieren möchte, eingerichtet habe. Per netcup-SSH bin ich in den Zielordner gegangen und habe dann den folgenden wget verwendet:
wget -m ftp://benutzername:passwort@SERVERNAME
Der Transfer läuft nun; dauert natürlich bei 170 GB
Damit ist das Problem gelöst! Danke!