Danke für deine Rückmeldung. Die erste Webseite hatte ich bereits installiert.
Nun habe ich zunächst den Dokumentenstamm für Domain_2 geändert, von httpdocs zu einem anderen Ordner.
Dann habe ich eine neue Datenbank erstellt, und Wordpress "auf die Domain_2" installiert. Das klingt etwas eigenartig, ist aber so bei der Installation zu lesen. Vorher hatte ich noch ein Zertifikat installiert für Domain_2, so stehts im Handbuch. Dann habe ich Domain_2 auf Wartung gestellt und die Suchmaschinenindexierung deaktiviert. Gerade bin ich fertig geworden und es sieht zumindest im Moment so aus, als wäre es geglückt.
Domain_1 scheint normal weiter zu laufen.
Ich werde mir das anschauen und hier ggf. noch mal Rückmeldung geben.