Ich würde zunächst einmal ping- und traceroute-Ergebnisse ansehen. (Nutze kein Webhosting, kann also nicht sagen, ob ein Anpingen regelmäßig funktionieren sollte.)
Bei ssh-Tests spielt immer eine Rolle, welche Ciphers usw. auf beiden Seiten erlaubt werden (in der Vergangenheit hatte ich bspw. Probleme, von einem RS ein ISO-Image via (S)FTP(S) für die Verwendung im SCP zu übertragen). Hier hilft es, mit mehreren "-v" die Geschwätzigkeit zu erhöhen, um ggf. Fehlermeldungen besser erfassen zu können und explizit die entsprechenden Einstellungen auf allen Seiten anzeigen zu lassen. Ich bin mir fast sicher, dass sich die SSH-Einstellungen zwischen HomeServer und Netcup-RS an einer Stelle unterscheiden.
Soll es schnell gehen, hilft immer noch die Methode "von hinten durch die Brust ins Auge" über zwei "Sprünge" : Netcup-RS <-> HomeServer <-> Netcup-Webhosting
EDIT: Fürs Protokoll: Bei SSH-Kontaktaufnahmen von exponierten Hosts auf einen HomeServer insbesondere zu Testzwecken würde ich hier zusätzliche Sicherheitsvorkehrungen treffen, beispielsweise die Verwendung eines gesicherten Containers oder einer VM und dedizierte SSH-Schlüssel, die nur an einer Stelle bzw. für die vorgenannten Tests verwendet werden.