Danke Schupp, das hat mich zur Lösung gebracht.
Fehlerursache war zum einen, dass ich versehentlich davon ausging, dass die Webserver IP für PHP Mails verwendet wird, statt die Mailserver IP und SMTP. Dieser Irrtum lag vor, weil im Plesk beim anderen Anbieter keine Mailadressen für die jeweiligen Kunden angelegt waren, und CF7 trotzdem funktionierte. Deshalb dachte ich, dass dort keine Verbindung besteht.
Ich fragte mich, wie Plesk für Kontaktformular-Mails vorgeht, wenn keine Mailadressen angelegt sind. Dazu analysierte ich bei den Abos, wo CF7 funktionierte, die Header der CF7 Mails und stellte fest, dass Plesk unterschiedliche Mailadressen verwendet. In einem Abo wurde die Adresse verwendet, die in CF7 als Absender Adresse eingetragen war, in einem anderen eine Mailadresse, die mal in dem Abo zu Testzwecken angelegt und wieder gelöscht war.
Somit musste das Problem an den "E-Mail-Einstellungen" liegen. Ich legte eine Mailadresse für eines der Abos an, wo CF7 nicht funktionierte und erhielt eine Warnung von Plesk (siehe Foto). Über die "Postausgangskontrolle > Abonnement > Grenze ändern" kam ich dann zum Fenster "Begrenzung ausgehender Nachrichten" und sah, dass überall "Benutzerdefinierter Wert für das Abonnement" mit dem standardmäßig eingesetzten Wert 0 ausgewählt war, statt "Serverweiter Standardwert". Nachdem ich das korrigierte, war das Problem gelöst.
Ich frage mich, warum Plesk diese Einstellung nach dem Löschen und erneuten Anlegen der Abos so vornahm. Vielleicht lag es möglicherweise daran, dass ich bei den betreffenden Abos vorher mal die Mailfunktion deaktiviert hatte, da die betreffenden Kunden andere Anbieter für den Mailverkehr nutzen und keine Mailadresse über das Abo benötigten.
Wie dem auch sei bin ich froh, den Fehler gefunden zu haben und bedanke mich bei allen sehr!
Beste Grüße