Unter welcher Domain rufst du denn deine Test-Website hier bei netcup auf? Ist das
hostingxxxxxx.axxxx.netcup.net?
Du kannst versuchen, für diese (Sub-)Domain ein Let's Encrypt Zertifikat erstellen zu lassen, das kann klappen, muss aber nicht, weil es ein Limit für diese Zertifikate pro Domain (hier netcup.net) gibt.
Alternativ kannst du auch eine Subdomain eurer Domain hier als externe Domain einbinden. Dazu muss zwar das DNS eurer Domain geändert (erweitert) werden, aber nur um zusätzliche Einträge für eben diese Subdomain. A Record (IPv4 eures Webservers bei netcup), eventuell noch AAAA Record (IPv6 des Webhostingpakets), beides findet sich im CCP auf der Übersichtsseite eures netcup-Webhostingpakets. Die A und AAAA Einträge für die Hauptdomain bleiben schön wie sie sind und zeigen weiterhin auf den alten Server, auf dem die Website derzeit noch läuft. Das sollte also die derzeit produktive Website überhaupt nicht tangieren.
Für diese als externe Domain eingebundene Subdomain solltest du dann hier bei netcup ein Let's Encrypt Zertifikat erstellen lassen und die Subdomain dann für die Test-Website verwenden. Damit müsste das Zertifikatsproblem m.E. Geschichte sein.